劉緯宏、吳仕先 / 工研院材化所
先進封裝隨異質整合與3D堆疊逐漸複雜。傳統有限元素法(FEM)仰賴不均勻網格維持精度，卻導致自由度暴增、計算冗長。AI採固定尺寸網格將幾何、材料、邊界條件特徵化，訓練卷積神經網路(CNN)模型快速預估各項探索式資料分析(EDA)指標，並支援大規模掃描與布局比對。雖犧牲某些局部細節，但對不具高敏感度的設計指標可帶來數量級的時間節省；並可透過再學習（例如：遷移學習、二次學習）擴大覆蓋與精度。最終再以一次的FEM精密分析，串接整體設計流程並大幅降低試錯與優化成本。
【內文精選】
分析方法(Analysis Methods)
1. 有限元素法
有限元素法(Finite Element Method; FEM)以偏微分方程的方式，把連續域離散成許多小元素，在每個元素內用基底/形狀函數近似未知場量，組裝成全域代數系統以數值求解微分方程，示意圖如圖六。
圖六 FEM示意圖
透過有限元素分析包含以下特性：
(1) 數學基礎
以伽遼金法(Galerkin)框架，把逐點要求的強式改寫成弱式（加權積分、分部積分降階），在解夠光滑時兩者等價；弱式便於有限元素離散，近似性來自離散而非弱式本身。
①強式(Strong Form)：方程與邊界條件必須在每個點成立，解需要較高的平滑度。
②弱式(Weak Form)：將方程乘上測試函數並在域內積分，經分部積分後，要求加權殘差積分為零；這放寬了對解的平滑度要求。
(2) 基本流程
①建立幾何與網格：設全域網格尺寸與必要的局部加密。
②由弱式推導元素方程：把強式乘測試函數並分部積分，得到弱式；選形狀函數階數（線性/二次）與材料參數，算出每個元素的Ke、Fe。
③組合全域矩陣、附加邊界條件：把每塊小元素的方程疊成全域方程，將通量或力等自然條件加入，並設定定值條件限縮方程式的自由度，進而可得到Ku = F，K為剛度矩陣、u為位移向量、F為載荷向量。
④求解：線性問題選直接或迭代求解器；非線性用牛頓迭代；暫態則加上時間離散。
⑤誤差估計與自適應：檢查結果是否符合預期，再進行局部細化，最後利用結果微調/更新變數，迭代出最佳網格方法。
FEM方法與CNN方法比較
在先進封裝領域，有限元素法(FEM)已行之有年，廣泛應用於熱、電、機等多物理分析。然而隨著異質整合封裝、Chiplet與3D IC堆疊推進，幾何與材料組合急遽複雜、資料尺度暴增，傳統流程需依賴高度不均勻的自適應網格，計算時間與資源成本迅速攀升。
此時導入以CNN為核心的AI代理模型，在可控精度下提供大規模批量處理能力的快速預測，有效提高封裝從設計到成品的研發效率；但AI方法通常伴隨對標註資料的依賴，對超出變數分布範圍、高度變化的邊界和極值等種類，預測精度容易有所下降，彙整各面向的比較對照如表一----以上為部分節錄資料，完整內容請見下方附檔。
▼表一 FEM方法與CNN方法各面向比較
★本文節錄自《工業材料雜誌》466期，更多資料請見下方附檔。